3.1 Limite de una sucesión


Límite de una sucesión de números reales

Una sucesión  \{\,x_n \} tal que \, n\geq 1 tiene límite \,l, cuando \,n tiende a \infty, si para todo valor \,\varepsilon por pequeño que sea, hay un valor \,n_0 a partir del cual si n_0″ /> tenemos que la distancia de \,l a \,x_n es menor que \,\varepsilon, es decir:

0, \exists n_0>0 : \forall n>n_0, d(x_n,l).

 Notación

\lim_{n\to\infty} x_n=l o bien  x_n \xrightarrow[{\;\; n \to \infty\;\; }]{}l

o también

 x_n\ \stackrel{d}{\longrightarrow}\ x \quad \mbox{cuando} \quad n \to \infty

o simplemente

 x_n \to x.

Ejemplos

  • La sucesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, … converge al límite 0.
  • La sucesión 1, -1, 1, -1, 1, … es oscilante.
  • La sucesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, … converge al límite 1.
  • Si a es un número real con valor absoluto |a| < 1, entonces la sucesión an posee límite 0. Si 0 < a ≤ 1, entonces la sucesión a1/n posee límite 1.
  • 0″ />
  • \lim_{n\to\infty} n^{\frac{1}{n}} = 1
  • 0″ />

Propiedades

  • Si una sucesión \,\{a_n\} tiene límite positivo, existe un término a partir del cual todos los términos de la sucesión son positivos.
  • Si una sucesión \,\{a_n\} tiene límite negativo, existe un término a partir del cual los términos de la sucesión son negativos.
  • Si una sucesión \,\{a_n\} converge a cero, no se puede asegurar nada acerca del signo de cada uno de los términos de la sucesión.
  • Si una sucesion \,\{a_n\} tiende a menos infinito y <img alt=”\,\{a_n\} entonces \frac{1}{a_n} tiende a 0.

 

  1. hola que tal mi nombre es george y esta bueno su pagina, pero no copien y peguen, les recomiendo leer libros de calculos diferencial (no lean el de baldor he) ZILL, DENNIS G., MCGRAW-HILL, ISABEL CARMONA, THOMAS, GEORGE B. y WEIR, MAURICE D., LARSON, RON E.. entre otros bueno espero y sigan publicando.

    saludos!!!

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